Atkins wykonał dobrą robotę, wyjaśniając, jaka jest parametryczna zależność funkcji fali elektronowej (i energii elektronowej) od współrzędnych jądrowych, ale nie wspomniał, że w wyprowadzeniu przybliżenia Borna-Oppenheimera zakłada się, że zależność ta jest ciągła i różniczkowalne i że zarówno pierwsza, jak i druga pochodna tych wielkości w odniesieniu do współrzędnych jądrowych są na ogół niezerowe. W szczególności dla układu opisanego w tekście mamy $$ \ frac {\ part \ psi} {\ częściowe Z_j} \ neq 0 \,, \ quad \ frac {\ części ^ 2 \ psi} {\ częściowe Z_j ^ 2} \ neq 0 \,. $$

Teraz, kiedy rozwiązanie postaci (8.3) jest podstawiane do równania Schrödingera (8.2), termin obejmujący $ T_ \ mathrm {e} $ jest trywialny: ponieważ funkcja fali jądrowej $ \ chi $ nie jest funkcją współrzędnych elektronicznych to jest po prostu stałą przy różniczkowaniu względem nich, więc otrzymujemy $$ T_ \ mathrm {e} (\ psi \ chi) = \ chi T_ \ mathrm {e} \ psi \,. $$ Ale wyraz obejmujący $ T_ \ mathrm {N} $ tak nie trywialnie przekształcić w podobny sposób, $$ T_ \ mathrm {N} (\ psi \ chi) \ neq \ psi T_ \ mathrm {N} \ chi $$, ponieważ zarówno $ \ psi $, jak i $ \ chi $ zależą od współrzędne jądrowe. Raczej stosując dwukrotnie regułę iloczynu, otrzymujemy \ begin {align} \ frac {\ part ^ 2} {\ part Z_j ^ 2} (\ psi \ chi) & = \ frac {\ part } {\ częściowe Z_j} \ left (\ frac {\ części} {\ częściowe Z_j} (\ psi \ chi) \ right) \\ & = \ frac {\ części} {\ częściowe Z_j} \ left (\ psi \ frac {\ części \ chi} {\ częściowe Z_j} + \ chi \ frac {\ części \ psi} {\ częściowe Z_j} \ right) \\ & = \ psi \ frac {\ części ^ 2 \ chi} {\ częściowe Z_j ^ 2} + 2 \ frac {\ części \ psi} {\ częściowe Z_j} \ frac {\ części \ chi} {\ częściowe Z_j} + \ chi \ frac {\ części ^ 2 \ psi} {\ częściowe Z_j ^ 2} \,, \ end {align} tak, że $$ T_ \ mathrm {N} (\ psi \ chi) = - \ psi \ sum \ limits_ {j = 1,2} \ frac {\ hbar ^ 2} { 2 m_j} \ frac {\ części ^ 2 \ chi} {\ częściowe Z_j ^ 2} - \ sum \ limits_ {j = 1,2} \ frac {\ hbar ^ 2} {2 m_j} \ left (2 \ frac {\ części \ psi} {\ częściowe Z_j} \ frac {\ części \ chi} {\ częściowe Z_j} + \ chi \ frac {\ części ^ 2 \ psi} {\ części Z_j ^ 2} \ right) \,, $$ gdzie pierwszy wyraz to nic innego jak $ \ psi T_ \ mathrm {N} \ chi $ a reszta to oznaczone jako $ W $.