Właściwością oscylatora harmonicznego jest to, że częstotliwość oscylacji $ \ omega $ jest zależna nie tylko od $ k $ (stała sprężystości), ale także na masie $ m $ obiektu:

$$ \ omega = \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$

Możemy z grubsza zamodelować wiązanie chemiczne jako oscylator harmoniczny z dwoma ciałami, który w dużej mierze podlega tej samej zasadzie, z wyjątkiem tego, że masę należy zastąpić masą zredukowaną $ \ mu $ , zdefiniowaną przez:

$$ \ frac {1} {\ mu} = \ frac {1} {m_1} + \ frac {1} {m_2} $$

gdzie $ m_1 $ i $ m_2 $ to masy dwóch ciał. Tak więc dla wiązania C – H mamy

$$ \ frac {1} {\ mu_ \ ce {CH}} = \ frac {1} {\ pu {12 u}} + \ frac {1} {\ pu {1 u}} \ implies \ mu_ \ ce {CH} = \ pu {0,923 u} $$

a dla obligacji C = O mamy

$$ \ frac {1} {\ mu_ \ ce {CO}} = \ frac {1} {\ pu {12 u}} + \ frac {1} {\ pu {16 u}} \ implies \ mu_ \ ce {CO} = \ pu {6,86 u} $$

Od J. Chem. Fiz. 1946, 14 (5), 305–320 stała siły $ k $ dla wiązania C = O w formaldehydzie jest około 2,46 USD razy więcej niż dla wiązania C – H w metanie (jednostki są w starym cgs, więc jestem leniwy z cytowaniem rzeczywistych wartości).

Możemy więc przedstawić bardzo zgrubne oszacowanie teoretyczne. Liczba falowa używana w spektroskopii IR, oznaczona jako $ \ bar {\ nu} $ , jest wprost proporcjonalna do (kątowej) częstotliwości $ \ omega $ .

$$ \ begin {align} \ frac {\ bar {\ nu} _ \ ce {CH}} {\ bar {\ nu} _ \ ce {CO}} & = \ frac {\ omega_ \ ce {CH} / 2 \ pi c} {\ omega_ \ ce {CO} / 2 \ pi c} \\ & = \ frac {\ omega_ \ ce {CH}} {\ omega_ \ ce {CO}} \\ & = \ sqrt {\ frac {k_ \ ce {CH}} {k_ \ ce {CO}} \ cdot \ frac {\ mu_ \ ce {CO}} {\ mu_ \ ce {CH}}} \\ & = \ sqrt {\ frac {1} {2.46} \ cdot \ frac {\ pu {6,86 u}} {\ pu {0.923 u}}} \\ & = 1.74 \ end {align} $$

To nie jest zbyt dalekie od eksperymentalnej wartości $ \ pu {2900 cm-1} / \ pu {1730 cm-1} = 1,68 $ (używając wartości ze środka typowych zakresów dla alkanów i aldehydów).

Według Skooga, Analytical Chemistry:

Używając klasycznej mechaniki, zakładając dwuatomową cząsteczkę, częstotliwość wibracji $ \ nu $ może być opisane przez $$ \ nu = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {k} {\ mu}} $$

gdzie $ k $ reprezentuje stałą siły tej więzi, a $ \ mu $ masa cząstek wiąże się ze sobą, zdefiniowana jako

$$ \ mu = \ frac {m_1 \ cdot m_2} {m_1 + m_2} $$

Równoważny opis chemii / mechaniki kwantowej obejmuje $ c $ , prędkość światła, dając wynik wyrażający promieniowanie w liczbach falowych: $$ \ bar {\ nu} = \ frac {1} {2 \ pi \ cdot c} \ sqrt {\ frac {k} {\ mu}} $$

Więc (1), przy tej samej zredukowanej masie $ \ mu $ , obserwowana częstotliwość rośnie wraz ze wzrostem stałej siły t $ k $ . I (2) $ \ nu $ rośnie jednakowo, jednocześnie zmniejszając zredukowaną masę $ \ mu $ .

Skoog dalej wspomina jako typową stałą siły pojedynczych wiązań w zakresie $ 3 \ times 10 ^ 2 \ ldots 8 \ times 10 ^ 2 \, \ pu {N m} ^ {- 1} $ ze średnią $ 5 \ times 10 ^ 2 \, \ pu {N m} ^ {- 1} $ ; podając $ 1 \ times 10 ^ 3 \, \ pu {N m} ^ {- 1} $ i 1,5 $ \ times 10 ^ 3 \, \ pu {N m} ^ {- 1} $ odpowiednio dla typowych podwójnych i potrójnych wiązań.

W rezultacie dla karbonylowego $ \ ce {C = O} $ wiązania podwójnego, przyjmując jako masę $ m_1 $ atomu węgla

$$ m_1 = \ frac {12 \ times 10 ^ {- 3} \, \ pu {kg / mol}} {6.0 \ times 10 ^ {23} \, \ pu {atoms / mol}} \ times 1 \, \ pu {atom} = 2.0 \ times 10 ^ {- 26} \, \ pu {kg} $$

i dla tlen a masa $ m_2 = 2.7 \ times 10 ^ {- 26} \, \ pu {kg / atom} $ , daje zredukowaną masę $ \ mu = 1,1 \ times 10 ^ {- 26} \, \ pu {kg} $ . Korzystając z powyższego równania, określ jako częstotliwość drgań (w liczbach falowych) wartość

$$ \ bar {\ nu} = 5,3 \ times 10 ^ {- 12 } \, \ pu {s \ cdot cm} ^ {- 1} \ sqrt {\ frac {1 \ times 10 ^ 3 \, \ pu {N \ cdot m ^ {- 1}}} {1.1 \ times 10 ^ {-26} \, \ pu {kg}}} = 1,6 \ times 10 ^ 3 \ pu {cm} ^ {- 1} $$ .