Myślę, że na początku używano tylko normalnych schematów całkowych Obara-Saika, McMurchie-Davidson, Rys, gdzie dla jednego wykładnika używano tylko Gaussa z wykładnikiem zero. Później ludzie przeanalizowali schematy do tego specjalnego celu i zmodyfikowali je do obliczenia 3 indeksowych całek kulombowskich. Całkiem nowy artykuł na ten temat można znaleźć w Gyula Samu i Mihály Kállay, J. Chem. Fiz. 2017, 146 , DOI: 10.1063 / 1.4983393.

Jedna drobna rzecz, którą chcę Zwróć uwagę, że przedstawiłeś RI / DF w nieco nietypowy sposób (notacja). Przy użyciu RI / DF całki są obliczane jako

$$ (ij | kl) \ ok \ sum_ {PQ} ^ {N_ {aux}} (ij | P) [V ^ {- 1}] _ {PQ} (Q | kl) $$

gdzie

$$ V_ {PQ} = \ left (P | Q \ right) = \ int \ int {{\ phi_ {P} ({r_1}) \ frac {1} {r_ {12}} \ phi_ {Q} ({r_2})}} d {r_1} d {r_2} $$

Z Oczywiście możesz to trochę przepisać, tworząc $ V_ {PQ} ^ {- 1/2} $, aby dojść do podobnego wyrażenia, jakie podałeś.

Podaję Ci jego rozwiązanie na podstawie tego artykułu Gyula Samu i Mihály Kállay: Streszczenie - W tym badaniu poszukujemy najbardziej efektywnych ścieżek oceny całek trójśrodkowych odpychania elektronów (ERI) w stałych harmonicznych funkcjach Gaussa różnych pęd kątowy. Po pierwsze, adaptacja dobrze ugruntowanych technik opracowanych dla czteroośrodkowych ERI, takich jak schematy Obara – Saika, McMurchie – Davidson, Gill – Head-Gordon – Pople i kwadraturowe rysy, oraz ich kombinacje dla trójśrodkowych ERI jest omawiane. Analizowanych jest kilka aspektów algorytmicznych, takich jak kolejność różnych operacji i prymitywne pętle, a także strategie wstępnej selekcji. Po drugie, szacuje się liczbę operacji zmiennoprzecinkowych (FLOP) dla różnych wyprowadzonych algorytmów i na podstawie tych wyników wybiera się najbardziej obiecujące. Przedstawiamy efektywną implementację tych ostatnich algorytmów przywołujących techniki programowania automatycznego, a także oceniamy ich praktyczną wydajność. Dochodzimy do wniosku, że uproszczony schemat Ahlrichsa Obary-Saiki jest w większości przypadków najbardziej opłacalny, ale dla poszczególnych trojaczków powłok preferowane są zmodyfikowane algorytmy Gill-Head-Gordon-Pople i Rys. Nasze eksperymenty numeryczne pokazują również, że chociaż transformacja harmonicznej stałej i nawrót poziomy wymagają znacznie mniejszej liczby FLOP, jeśli są wykonywane na poziomie kontraktowym, to podejście nie poprawia wydajności w praktycznych przypadkach. Zamiast tego bardziej korzystne jest wykonywanie tych operacji na poziomie prymitywnym, co pozwala na bardziej wydajne zintegrowane wstępne sprawdzanie i układ pamięci.