Klasyczna termodynamika nie dopuszcza istnienia molekuł, więc jeśli wyprowadza się prawo gazowe, to nie może odwoływać się do żadnych molekularnych pomysłów dotyczących natury materii.

Potencjał chemiczny doskonałego czystego gazu w temperaturze T i ciśnienia p i $ p ^ {\ mathrm {o}} $ są zdefiniowane jako $$ \ mu = \ mu ^ {\ mathrm {o}} + RT \ ln (p / p ^ {\ mathrm {o}}) $$ Możemy wybrać $ p ^ {\ mathrm {o}} $ jako jedność, a następnie $$ \ mu = \ mu ^ {\ mathrm {o}} + RT \ ln (p) $$ To nadal jest poprawne wymiarowo, ponieważ $ p ^ {\ mathrm {o}} = 1 \ pu {~ bar} $ i tak jak wybraliśmy temperaturę, $ \ mu ^ {\ mathrm { o}} $ jest standardowym potencjałem chemicznym, który jest jedynie funkcją temperatury.

Różnicowanie potencjału chemicznego przy stałej T daje $$ \ left (\ frac {\ Partial \ mu} {\ part p} \ right) _T = \ frac {RT} {p} $$

Aby znaleźć inne wyrażenie na pochodną, ​​możemy użyć $$ dG = -SdT + Vdp + \ Sigma \ mu_idn_i $$ za $ dn_i $ moli gatunku i daje. Dla czystego gatunku możemy porzucić indeks dolny i i zamienić sumę na $ \ mu dn $ then $$ \ left (\ frac {\ części \ mu} {\ części p} \ right) _T = \ frac {\ częściowe} {\ częściowe n} \ left (\ frac {\ częściowe G} {\ częściowe p} \ right) _T = V_m $$ gdzie $ V_m $ to objętość na mol.

Porównanie tych dwóch pochodnych daje $ V_m = RT / p $ lub $$ pV = nRT $$

Zatem definicja potencjału chemicznego zawiera implicite prawo gazu doskonałego.

Odpowiedź jest prawie: zaczynając od $ 1 ^ {st} $ prawa $ dU = TdS-pdV $ częściowe różnicowanie daje $$ \ left (\ frac {\ części U} {\ częściowy V} \ right) _T = T \ left (\ frac {\ częściowe S} {\ częściowe V} \ right) _T - p \ tag {1} \ label {1} ​​$$ i teraz zastosuj relację Maxwella do prawej strony i uzyskaj $$ \ left (\ frac {\ częściowe U} {\ częściowe V} \ right) _T = T \ left (\ frac {\ part p} {\ częściowe T} \ right) _T - p \ tag {2} \ label {2 } $$ Zauważ, że dla gazu doskonałego (prawo Joule'a) $ U = f (T) $, a więc $$ \ left (\ frac {\ częściowe U} {\ częściowe V} \ right) _T = 0 \ tag {3 } \ label {3} $$ tak, że $ T \ left (\ frac {\ part p} {\ part T} \ right) _T - p = 0 $ a także $ \ left (\ frac {\ part p} { \ częściowe T} \ right) _T = \ frac {p} {T} $. Możemy to zintegrować w postaci $$ \ text {ln} p = \ text {ln} T + g (V) $$ lub $$ ph (V) = T \ tag {4} \ label {4} $$ dla jakaś funkcja $ h (V) $ objętości $ V $.

Na koniec potrzebujemy prawa Boyle'a (stąd odpowiedź brzmi „prawie”), zgodnie z którym dla gazu doskonałego iloczyn $ pV $ zależy tylko od temperatury. Po zastosowaniu do $ (4) $ daje nam to $ V \ propto h (V) $, a to jest po prostu równanie gazu doskonałego stanu $$ pV \ propto T \ tag {5} \ label {5} $$