Pytanie:
Analityczne rozwiązanie praw pierwszorzędnych
wigging
2013-08-16 05:47:12 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Czy ktoś zna analityczne rozwiązania następujących przepisów dotyczących stawek:

1) $ \ frac {\ mathrm {d} \ rho_ \ text {W}} {\ mathrm {d} t} = - \ rho_ \ text {W} \ cdot (K_1 + K_2 + K_3) $

2) $ \ frac {\ mathrm {d} \ rho_ \ text {T}} {\ mathrm {d} t} = \ rho_ \ text {W} \ cdot K_2 - (K_4 + K_5) \ cdot \ rho_ \ text {T} $

3) $ \ frac {\ mathrm {d} \ rho_ \ text {C}} {\ mathrm {d} t} = \ rho_ \ text {W} \ cdot K_3 + \ rho_ \ text {T} \ cdot K_5 $

Jako przykład określiłem następujące rozwiązanie analityczne dla tego prawa kursu:

$ \ frac {\ mathrm {d} \ rho_ \ text {W}} {\ mathrm {d} t} = - \ rho_ \ text {W} \ cdot (K_1 + K_2 + K_3) \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ rho_ \ text {W} = \ rho _ {\ text {W} 0} \ cdot \ operatorname {e} ^ {- (K_1 + K_2 + K_3) \ cdot t} $

gdzie $ \ rho _ {\ text {W} 0} = $ gęstość początkowa, $ K = $ stała szybkości reakcji, $ t = $ czas

schemat reakcji to:

  1. $ \ ce {wood} \ xrightarrow {K_ {1}} {} \ ce {gas} $

  2. $ \ ce {wood} \ xrightarrow {K_ {2}} {} \ ce {tar} $

  3. $ \ ce {wood} \ xrightarrow { K_ {3}} {} \ ce {char} $

  4. $ \ ce { tar} \ xrightarrow {K_ {4}} {} \ ce {gas} $

  5. $ \ ce {tar} \ xrightarrow {K_ {5}} {} \ ce {char} $

Jakakolwiek pomoc dotycząca trzech powyższych przepisów dotyczących stawek byłaby bardzo mile widziana.

Dwa odpowiedzi:
ManishEarth
2013-08-18 12:14:56 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Oto rozwiązanie, które otrzymałem:

$$ \ begin {align} \ rho _T (t) & = - \ frac {K_2 \ rho _ {w0} \ left (e ^ {\ left (-K_1-K_2-K_3 \ right) t} -e ^ {t (-K4-K5)} \ right)} {K_1 + K_2 + K_3-K4-K5} \\\ rho _W (t) & = e ^ {\ left (-K_1-K_2-K_3 \ right) t} \ rho _ {w0} \\\ rho_C (t) & = \ tiny {- \ frac {\ rho _ {w0} e ^ {- t \ left (K_1 + K_2 + K_3 + K4 + K5 \ right)} \ left (K_2 ^ 2 K5 e ^ {\ left (K_1 + K_2 + K_3 \ right) t} \ left (e ^ {t (K4 + K5 )} - 1 \ right) + K_2 \ left (K5 (K4 + K5) \ left (e ^ {t (K4 + K5)} - e ^ {t \ left (K_1 + K_2 + K_3 + K4 + K5 \ right) )} \ right) + K_1 K5 e ^ {\ left (K_1 + K_2 + K_3 \ right) t} \ left (e ^ {t (K4 + K5)} - 1 \ right) -K_3 \ left (- (K4 +2 K5) e ^ {t \ left (K_1 + K_2 + K_3 + K4 + K5 \ right)} + K5 e ^ {\ left (K_1 + K_2 + K_3 \ right) t} + (K4 + K5) e ^ {t (K4 + K5)} \ right) \ right) + K_3 (K4 + K5) \ left (-K_1-K_3 + K4 + K5 \ right) \ left (e ^ {t (K4 + K5)} - e ^ {t \ left (K_1 + K_2 + K_3 + K4 + K5 \ right)} \ right) \ right)} {\ left (K_1 + K_2 + K_3 \ right) (K4 + K5) \ left (-K_1-K_2 -K_3 + K4 + K5 \ right)}} \ end {align} $$

Ręczne rozwiązanie tego problemu nie jest takie trudne, ponieważ połączenie jest nieskorygowane. Więc możemy najpierw rozwiązać $ \ rho_W $ i podstawić je w równaniu na $ \ frac {d \ rho_T} {dt} $. Teraz mamy równanie w postaci $ \ frac {dy} {dt} = Ay + Be ^ {kt} $, które ma rozwiązanie postaci $ y = Ce ^ {At} + De ^ {kt} $, gdzie C, D można znaleźć przez podstawienie wstecz. Teraz podstawiamy wartości $ \ rho_T, \ rho_W $ w ostatnim równaniu i otrzymujemy równanie w postaci $ \ frac {d \ rho_C} {dt} = f (t) $ ($ f (t) $ tutaj jest kombinacja wykładników), które można łatwo rozwiązać, całkując $ f (t) $

Post dla mrówek?
bobthechemist
2013-08-18 20:23:44 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Tak naprawdę takie problemy można bardzo ładnie rozwiązać za pomocą Mathematica i uważam, że zapewnia ona dostęp do naprawdę fajnej chemii, nawet jeśli matematyka jest nieco przytłaczająca dla niektórych uczniów. Można uzyskać to samo rozwiązanie co @ManishEarth z następującym kodem Mathematica: 

  soln = DSolve [{wood '[t] == ​​-wood [t] (k1 + k2 + k3), smoła '[t] == ​​drewno [t] * k2 - (k4 + k5) * smoła [t], char' [t] == ​​drewno [t] * k3 + smoła [t] * k5, drewno [0] == drewno0, smoła [0] == 0, char [0] == 0}, {drewno [t], smoła [t], char [t]}, t]

Zabawna część polega na tym, jak łatwo jest wizualizować wyniki:

Mathematica graphics

Są też sposoby na dynamiczne manipulowanie wykresem, tak aby można było zbadać wpływ kursu stałe w stężeniach zależnych od czasu.

enter image description here

Matematyczny rygor mojego rozwiązania jest naturalnie trochę słaby, ale często kładę nacisk na nauczanie przedmiotów ścisłych.

Wow, dzięki za wskazanie tego w Mathematica. Używam Matlaba do wszystkiego w pracy. Czy wiesz, czy możesz dynamicznie dostosowywać parametry w programie Matlab, tak jak w programie Mathematica?
Nie używam Matlab od kilku lat. Istnieje [ten kod] (http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/36512-manipulate-interactive-parametrized-plotting), który zapewnia pewne funkcje manipulacyjne, ale nie sądzę, aby Matlab był tak zaawansowany w ten typ wizualizacji jest (przynajmniej w tej chwili) Mathematica.


ⓘ
To pytanie i odpowiedź zostało automatycznie przetłumaczone z języka angielskiego.Oryginalna treść jest dostępna na stackexchange, za co dziękujemy za licencję cc by-sa 3.0, w ramach której jest rozpowszechniana.
Loading...